Đề bài: Tìm tất cả các điểm của trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị của hàm số $y=-x^4+2x^2-1$.
Ta dễ dàng nhận ra đây là đề thi tuyển sinh vào trường ĐH Y - Dược TPHCM năm 1998. Với bài toán này có rất nhiều thí sinh và cả một số tác giả viết sách tham khảo cũng đưa ra cách giải sai lầm. Nguyên nhân chính là cho rằng số tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số trùng phương chính bằng số tiếp điểm tìm được. Nên nhớ rằng, số tiếp tuyến có hoành độ $x_0$ không đúng bằng số tiếp tuyến, nhất là đối với hàm bậc 4.
Lời giải:
Gọi $A(0,y_0)\in Oy$ thì đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k là $y=kx+y_0$. Đường thẳng này là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi hệ phương trình $$\begin{cases}
-x^4+2x^2-1=kx+y_0\;(1)\\
-4x^3+4x=k\;(2)
\end{cases}$$ có nghiệm đối với ẩn $x$.
-x^4+2x^2-1=kx+y_0\;(1)\\
-4x^3+4x=k\;(2)
\end{cases}$$ có nghiệm đối với ẩn $x$.
Điều kiện cần: Giả sử từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị. Nhận xét rằng: đồ thị có trục đối xứng là trục tung nên số các tiếp tuyến không cùng phương với trục hoành, kẻ từ A tới đồ thị phải là một số chẵn. Vì giả thiết số tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị là 3, nên phải có tiếp tuyến kẻ từ A cùng phương với trục hoành. Suy ra hệ trên phải có nghiệm $k=0$. Thay $k=0$ vào hệ ta có $$\begin{cases}
-x^4+2x^2-1=y_0\\
-4x^3+4x=0
\end{cases}$$
-x^4+2x^2-1=y_0\\
-4x^3+4x=0
\end{cases}$$
Từ đó suy ra $x=0\Longrightarrow y_0=-1$ hay $x=\pm 1 \Longrightarrow y_0=0$.
Điều kiện đủ:
- Xét $y_0=-1$ hệ ban đầu trở thành $$\begin{cases}-x^4+2x^2-1=kx-1\;(3)\\
-4x^3+4x=k\;(4)
\end{cases}$$
Thế k từ $(4)$ vào $(3)$ ta được $3x^4-2x^2=0 \Longrightarrow x=0,x=\pm \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
Từ đó suy ra các giá trị tương ứng của $k$ là $k=0,k=\pm\dfrac{4\sqrt{6}}{9}$.
Do đó từ điểm $A(0,-1)$ kẻ được đúng 3 tiếp tuyến tới đồ thị.
- Xét $y_0=0$ hệ ban đầu trở thành $$\begin{cases}-x^4+2x^2-1=kx\;(5)\\
-4x^3+4x=k\;(6)
\end{cases}$$
Thế $k$ từ $(6)$ vào $(5)$ ta được $3x^4-2x^2-1=0 \Longleftrightarrow x=\pm 1$.
Thay vào $(6)$ ta được $k=0$.
Vậy từ điểm $A(0,0)$ chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị.
Tóm lại: Có duy nhất một điểm $A(0,-1)$ trên trục tung thỏa yêu cầu bài toán.
Author: DoiGuocMoc
0 Comments Đăng nhận xét