Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và điểm $x_0\in (a;b)$.
Giới hạn hữu hạn, nếu có của tỷ số $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ khi $x$ dần đến $x_0$ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm $x_0$, ký hiệu là $f^{'}(x_0)$. Vậy $$f^{'}(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
Ảnh: Math2IT
2. Tính giới hạn bằng đạo hàm
Ví dụ 1: Tính giới hạn $I=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{5-x}-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}$.
Ví dụ 4: Tính giới hạn $L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{\sin x}$.
Hướng dẫn: Biến đổi $L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{\sin x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{x-0}}{\dfrac{\sin x}{x}}=1$.
Lưu ý: Ta cũng có thể biến đổi về dạng $L=\lim\limits_{x\to 0}\Biggl(2\cos x\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-1}{\sin 2x}-\dfrac{\mathrm{e}^{\sin x}-1}{\sin x}\Biggr)$.
Sau đó dùng giới hạn quen thuộc $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1.$
Ví dụ 5: Tính giới hạn $M=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\sqrt[3]{\tan x}-1}{2\sin^2x-1}$.
Đặt $
\begin{cases}
f(x)=\sqrt[3]{\tan x}-1\\
g(x)=2\sin^2x-1
\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases}
f(\frac{\pi}{4})=0,g(\frac{\pi}{4})=0\\
f^{'}(\frac{\pi}{4})=2/3,g^{'}(\frac{\pi}{4})=2
\end{cases}
$
Từ đó $
M=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\dfrac{\sqrt[3]{\tan x}-1}{x-\frac{\pi}{4}}}{\dfrac{2\sin^2x-1}{x-\frac{\pi}{4}}}=\dfrac{f^{'}(\pi/4)}{g^{'}(\pi/4)}=\dfrac{1}{3}
$.
Ví dụ 6: Tính giới hạn $N=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\left ( x^2+2001 \right )\sqrt[9]{1-5x}-2001}{x}$.
Đặt $f(x)=\left ( x^2+2001 \right )\sqrt[9]{1-5x}-2001$. Khi đó $f(0)=0$.
Ta có $f^{'}(x)=2x\sqrt[9]{1-5x}-\dfrac{5\left ( 2001+x^2 \right )}{9\sqrt[9]{\left ( 1-5x \right )^8}}\Rightarrow f^{'}(0)=\dfrac{-5.2001}{9}$.
Biến đổi $N=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{'}(0)=\dfrac{-5(2001)}{9}$.
Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau
a) $I=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{x^2}$
b) $J=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3^{x^2}-\cos x}{x^2}$
Cách 1: Ta biến đổi giới hạn đã cho thành $$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{5-x}-2}{x^2-1}+\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}$$
Sau đó dùng cách nhân với lượng liên hợp để khử dạng vô định $\dfrac{0}{0}$.
Sau đó dùng cách nhân với lượng liên hợp để khử dạng vô định $\dfrac{0}{0}$.
Cách 2: Xét hàm số $f(x)=\sqrt{5-x}-\sqrt[3]{x^2+7}\Longrightarrow f(1)=0.$
Ta có: $f^{'}(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{5-x}} -\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+7)^2}}\Longrightarrow f^{'}(1)=-\dfrac{5}{12}.$
Khi đó ta viết lại $I= \dfrac{\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}}{\lim\limits_{x\to 1}(x+1)}=\dfrac{f^{'}(1)}{2}=-\dfrac{5}{24}$.
Ví dụ 2: Tính giới hạn $J=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{2x+1}-\sqrt[3]{x^2+1}}{\sin x}$.
Cách 1: Viết lại $J=\lim\limits_{x\to 0}\Biggl(\dfrac{\sqrt{2x+1}-1}{x}+\dfrac{1-\sqrt[3]{x^2+1}}{x}\Biggr).\dfrac{x}{\sin x}$.
Sau đó dùng lượng liên hợp và giới hạn quen thuộc $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{ x}{\sin x}=1$.
Sau đó dùng lượng liên hợp và giới hạn quen thuộc $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{ x}{\sin x}=1$.
Cách 2: Xét hàm số $f(x)=\sqrt{2x+1}-\sqrt[3]{x^2+1}\Longrightarrow f(0)=0.$
Ta có: $f^{'}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}} -\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}\Longrightarrow f^{'}(0)=1.$
Khi đó ta viết lại $J= \dfrac{\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}}{\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}}=\dfrac{f^{'}(0)}{1}=1$.
Ví dụ 3: Tính giới hạn $K=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\sqrt{2x+1}+\sin x}{\sqrt{3x+4}-2-x}$.
Xét hai hàm số $$f(x)=1-\sqrt{2x+1}+\sin x, g(x)=\sqrt{3x+4}-2-x$$
Ta viết lại $K=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}}{\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}}=\dfrac{f^{'}(0)}{g^{'}(0)}=0$.
Ví dụ 4: Tính giới hạn $L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{\sin x}$.
Hướng dẫn: Biến đổi $L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{\sin x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{x-0}}{\dfrac{\sin x}{x}}=1$.
Lưu ý: Ta cũng có thể biến đổi về dạng $L=\lim\limits_{x\to 0}\Biggl(2\cos x\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-1}{\sin 2x}-\dfrac{\mathrm{e}^{\sin x}-1}{\sin x}\Biggr)$.
Sau đó dùng giới hạn quen thuộc $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1.$
Ví dụ 5: Tính giới hạn $M=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\sqrt[3]{\tan x}-1}{2\sin^2x-1}$.
Đặt $
\begin{cases}
f(x)=\sqrt[3]{\tan x}-1\\
g(x)=2\sin^2x-1
\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases}
f(\frac{\pi}{4})=0,g(\frac{\pi}{4})=0\\
f^{'}(\frac{\pi}{4})=2/3,g^{'}(\frac{\pi}{4})=2
\end{cases}
$
Từ đó $
M=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\dfrac{\sqrt[3]{\tan x}-1}{x-\frac{\pi}{4}}}{\dfrac{2\sin^2x-1}{x-\frac{\pi}{4}}}=\dfrac{f^{'}(\pi/4)}{g^{'}(\pi/4)}=\dfrac{1}{3}
$.
Ví dụ 6: Tính giới hạn $N=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\left ( x^2+2001 \right )\sqrt[9]{1-5x}-2001}{x}$.
Đặt $f(x)=\left ( x^2+2001 \right )\sqrt[9]{1-5x}-2001$. Khi đó $f(0)=0$.
Ta có $f^{'}(x)=2x\sqrt[9]{1-5x}-\dfrac{5\left ( 2001+x^2 \right )}{9\sqrt[9]{\left ( 1-5x \right )^8}}\Rightarrow f^{'}(0)=\dfrac{-5.2001}{9}$.
Biến đổi $N=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{'}(0)=\dfrac{-5(2001)}{9}$.
Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau
a) $I=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{x^2}$
b) $J=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3^{x^2}-\cos x}{x^2}$
Theo Toán học và Tuổi trẻ
Author: DoiGuocMoc
0 Comments Đăng nhận xét