Có những tích phân mà ta tưởng chừng như phải dùng đến phương pháp tích phân từng phần mới giải được thì lại dễ dàng tính ra với những công thức đơn giản hơn rất nhiều. Bài viết này tôi trích trong quyển sách LTĐH của thầy Sơn.
Để bắt đầu ta xét các tích phân sau:
1) $\mathrm{I}=\displaystyle\int\limits_0^1x^5\mathrm{e}^x\;\mathrm{d}x$
2) $\mathrm{J}=\displaystyle\int\limits_0^\dfrac{\pi}{2}\mathrm{e}^x\sin x\;\mathrm{d}x$
3) $\mathrm{K}=\displaystyle\int\limits_1^\mathrm{e^\pi}\sin \left ( \ln x \right )\;\mathrm{d}x$
Với tích phân I ta thường phải tính tích phân từng phần đến 5 lần để hạ bậc lũy thừa, còn với tích phân J và K ta tính tích phân từng phần hai lần và phối hợp với tích phân ``liên hợp''.
Tuy nhiên với nhận xét đơn giản sau ta có thể tính dễ dàng các tích phân này.
Cho hàm số $u=u(x)$ liên tục trên đoạn $\left [ a;b \right ]$. Ta có $\left (u.\mathrm{e}^x\right)^{'}=\left(u+u^{' }\right).\mathrm{e}^x$. Từ đó ta suy ra công thức nguyên hàm sau $$\displaystyle\int\left ( u.\mathrm{e}^x \right )^{'}\mathrm{d}x=\displaystyle\int\left ( u+u^{'}\right ).\mathrm{e}^x\mathrm{d}x=u.\mathrm{e}^x+\mathrm{C} (\star)$$
Vận dụng công thức $(\star)$ hãy tính các tích phân trên. Chúc bạn thành công.
Vận dụng công thức $(\star)$ hãy tính các tích phân trên. Chúc bạn thành công.
Author: DoiGuocMoc
0 Comments Đăng nhận xét