Đây là đề thi môn Hàm biến phức Cao học K20 do thầy Phùng Kim Chức giảng dạy. Đề thi tương đối dễ thở, trải rộng toàn bộ chương trình.
Câu 1:
a) Cho hàm số $u\left( {x,y} \right) = a{x^3} - {a^2}x{y^2} + x - 3$. Xác định hằng số phức $a$ sao cho $u(x,y)$ là phần thực của một hàm giải tích trên $\mathbb{C}$.
b) Cho hàm số $v\left( {x,y} \right) = {x^3}y - x{y^3} + 2x - 3y$. Tìm hàm $f\left( z \right) = u\left( {x,y} \right) + iv\left( {x,y} \right)$ gải tích trên $\mathbb{C}$ thỏa mãn điều kiện $f\left( i \right) = \frac{1}{4} - 3i$.
Câu 2: Tính các tích phân sau
a) ${I_1} =\displaystyle \oint\limits_\gamma {\dfrac{z}{{\left| z \right|}}\mathrm{d}z}$ với $\gamma$ là biên của miền $1 < \left| z \right| < 2,\,\,{\mathop{\rm Im}\nolimits} z > 0$.
b) ${I_2} = \displaystyle\int\limits_{\left| z \right| = 2} {\dfrac{{{z^3} + 2z + 1}}{{{{\left( {z - 1} \right)}^2}}}\mathrm{d}z}$.
Câu 3: Cho hàm số $f\left( z \right) = \dfrac{{\sin \pi z}}{{{z^2}\left( {2z - 1} \right)}}$
a) Tìm các điểm bất thường cô lập của $f(z)$.
b) Tìm ${\mathop{\rm Res}\nolimits} \left( {f\left( z \right),0} \right)$ và ${\mathop{\rm Res}\nolimits} \left( {f\left( z \right),\frac{1}{2}} \right)$.
Câu 4: Dùng thặng dư tính các tích phân sau
a) $I =\displaystyle \int\limits_0^{2\pi } {\dfrac{{\mathrm{d}t}}{{5 + 3\sin t}}}$
b) $J =\displaystyle\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\dfrac{{\mathrm{d}t}}{{{x^4} + 5{x^2} + 4}}}$.
HẾTPS: Một số tài liệu tham khảo mà mình sưu tầm được
1. Đề cương của giáo viên bộ môn
Sự yên lặng - Tôi thích nó. Tôi thường xuyên thức khuya, tìm kiếm một thứ gì đó, mà tôi chẳng biết nó là gì. ... Tôi thật buồn cười, thích nói nhưng lại ít nói.
0 Comments Đăng nhận xét