Câu 1: Giải hệ phương trình sau
$$\left\{\begin{matrix}
x +\sqrt{x^2-2x+5}= 3y+\sqrt{y^2+4} \\
x^2 -y^2 -3x +3y+1 = 0
\end{matrix}\right.$$
x +\sqrt{x^2-2x+5}= 3y+\sqrt{y^2+4} \\
x^2 -y^2 -3x +3y+1 = 0
\end{matrix}\right.$$
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left (3;1 \right ), B\left ( -1;2 \right )$ và đường thẳng $(d):x-y=0$. $M$ là điểm di động trên đường thẳng $(d)$ sao cho đường thẳng $MA$ cắt trục hoành tại điểm $P$, đường thẳng $MB$ cắt trục tung tại điểm $Q$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 3: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào số nguyên dương $n$
$$S_n=\cos\dfrac{\pi}{2n+1}-\cos\dfrac{2\pi}{2n+1}+\cos\dfrac{3\pi}{2n+1}-\ldots+(-1)^n\cos\dfrac{n\pi}{2n+1}$$
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x}}$ với $x>0$
Câu 5:
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 2$ ta luôn có $$1<\sqrt[n]{n}<1+\dfrac{2}{\sqrt{n}}$$
b) Cho $x$ và $y$ là các số thực dương thỏa $x^3+y^3=x-y$. Chứng minh rằng $$x^2+4y^2<1$$
Câu 6: Trên các cạnh của một tam giác $ABC$ ta dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông $BCDE, ACFG$ và $BAHK$. Giả sử các điểm $P$ và $Q$ có tính chất: $FCDP$ và $EBKQ$ là các hình bình hành.
a) Chứng minh rằng: $\Delta CPF=\Delta ABC$ và $\Delta APC=\Delta ABQ$.
b) Tam giác $APQ$ vuông cân.
Câu 7:
a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình sau với các ẩn $x, y, z, t$
$$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{t^2}=1$$
b) Tìm tất cả các đa thức $f(x)$ với hệ số thực thỏa mãn $$\left ( x-2014 \right )^2f(x)=\left ( x-2016 \right )^2f(x+2)$$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
HẾT
Author: DoiGuocMoc
0 Comments Đăng nhận xét