Toanthanhdong giới thiệu đến các bạn học sinh một bài toán xác suất có nội dung về môn cờ vua nhưng rất hại não. Nào cùng giải nhé!
Hiển thị các bài đăng có nhãn Toán học. Hiển thị tất cả bài đăng
Đề thi HSG tỉnh Kiên Giang 2015 - 2016
Giới thiệu đến các bạn học sinh đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh năm học 2015 - 2016 của tỉnh Kiên Giang. Kỳ thi được diễn ra trong 2 ngày (11 - 12/09/2015) gồm 2 vòng thi. Đề thi vòng 1 bao giờ cũng dễ thở nhằm khuyến khích các trường tham gia dự thi, còn vòng 2 mang tính phân loại cao.
ĐỀ VÒNG 1
Bài 1. (4.0 điểm)
Cho hàm số $y=\frac{2}{3}x^3+(m+1)x^2+(m^2+4m+1)x+1\quad (1), m$ là tham số thực.
- Tìm $m$ để hàm số $(1)$ luôn đồng biến trên tập xác định của nó.
- Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ có hai điểm cực trị với hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn: $2x_1x_2-(x_1+x_2)+2=0$.
Giải phương trình sau trên tập số thực: $$1+2\cos^2\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right )=\cos^2\left ( \frac{x}{3}+\frac{\pi}{6} \right )$$
Bài 3. (4.0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A(4;-2)$ và đường tròn $(C)$ có phương trình: $(x-3)^2+(y-2)^2=5$.
- Tìm các điểm có tọa độ nguyên thuộc đường tròn $(C)$.
- Tìm trên đường tròn $(C)$ điểm $B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$ ($O$ là gốc tọa độ).
Cho tứ diện $SABC$ có ba cạnh $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc và $AC=2SB, BC=2SA$. Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $S$ lên các đường thẳng $AC, BC$ và $I$ là trung điểm đoạn $AB$. Chứng minh rằng:
- Đường thẳng $SC$ vuông góc với đường thẳng $EF$.
- $\tan^2\alpha+\tan^2\beta+\frac{EF}{AB}=\frac{5}{4}$. Với $\alpha=\widehat{SCI}, \beta=\widehat{SCA}$.
Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x+y+z=1$. Chứng minh rằng: $$\frac{x^3-2x^2+x}{\sqrt{x}.(y+z)}+\frac{y^3-2y^2+y}{\sqrt{y}.(z+x)}+\frac{z^3-2z^2+z}{\sqrt{z}.(x+y)}\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$$
ĐỀ VÒNG 2
Bài 1. (5.0 điểm)
Giải hệ phương trình: $\begin{cases}
x+y+z&=6\\
xy+yz-zx&=7\\
x^2+y^2+z^2&=14
\end{cases}$
x+y+z&=6\\
xy+yz-zx&=7\\
x^2+y^2+z^2&=14
\end{cases}$
Bài 2. (5.0 điểm)
Cho hàm số $f(x)=(x+m)^3+(x+n)^3-x^3; m, n$ là tham số thực.
Chứng minh rằng: với mọi $m, n$ thì phương trình $f(x)=0$ có đúng một nghiệm thực.
Bài 3. (5.0 điểm)
Năm điểm thứ tự $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ chia đường tròn bán kính $R$ thành 5 cung bằng nhau. Chứng minh rằng: $A_1A_2.A_1A_3=\sqrt{5}R^2$.
Bài 4. (5.0 điểm)
Tìm số tự nhiên $N$ có ba chữ số sao cho: Tổng các giai thừa ba chữ số của $N$ bằng $N$.
Tỷ lệ vàng và số phi
Đây là tỷ lệ xuất hiện rất nhiều trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta. Bạn sẽ phải ngạc nhiên nếu biết đến những điều sau đấy.
Hai phát hiện vĩ đại nhất của hình học, một là định lý Pythagore, và hai là tỷ lệ vàng – một thứ có thể so sánh là quý như vàng, còn thứ kia có giá trị như một viên ngọc quý.
Đầu tiên ta cần phải biết định nghĩa chính xác của tỷ lệ vàng (Golden Ration) và giá trị của số Phi ($\varphi$).
Định nghĩa. Trong toán học và nghệ thuật, hai đại lượng được gọi là có tỷ số vàng hay tỷ lệ vàng nếu tỷ số giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỷ số giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn. Tỷ lệ vàng thường được chỉ định bằng ký tự $\varphi$ (phi) trong bảng chữ cái Hy Lạp nhằm tưởng nhớ đến Phidias, nhà điêu khắc đền Parthenon (Theo Wikipedia). $$\begin{align}\label{eq1}\dfrac{a+b}{a} = \dfrac{a}{b} = \varphi\end{align}$$
Phương trình trên theo ẩn $\varphi$ nếu giải ra sẽ có nghiệm đại số là $$\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398875\ldots$$
Bạn sẽ vô cùng ngạc nhiên khi biết rằng đây không phải là con số do con người tuỳ hứng sáng tạo nên, con người chỉ tình cờ phát hiện ra nó (cho tới giờ cũng chưa biết chính xác nguồn gốc thật sự của phát hiện này). Cũng giống như số $\pi$, đây là một con số của tạo hoá. Bạn sẽ biết được tại sao tôi lại nói như thế qua các ví dụ bên dưới đây.
Sở dĩ nó được con người áp dụng nhiều trong các công trình kiến trúc và thiết kế sản phẩm vì nó tạo cho con người ta cảm giác hài hoà khó tả. Khi bạn nhìn một biểu tượng nào đấy, bạn có cảm giác có một điều gì đó khó chịu về mặt tỷ lệ, nhưng khi chỉnh sửa theo tỷ lệ vàng này, nó sẽ cho ta cảm giác cân đối và vừa mắt. Điều này vẫn chưa thể giải thích cặn kẽ được.
Tỉ lệ các cạnh của hình chữ nhật càng gần $\varphi$ thì càng bắt mắt. Hình chữ nhật có $$\dfrac{\text{chiều dài}}{\text{chiều rộng}} = \varphi$$ được gọi là hình chữ nhật vàng.
Trong một cuộc nghiên cứu nổi tiếng do Gustav Fechner tiến hành năm 1876, trong đó người ta được yêu cầu chọn một hình chữ nhật ưng ý nhất trong số một bộ các hình chữ nhật có kích thước từ một vuông đến gấp đôi. Kết quả là kích thước hình chữ nhật càng gần với hình chữ nhật vàng thì số người lựa chọn càng tăng lên. Ông còn nghiên cứu xa thêm bằng cách đo đạc tỉ lệ của các cửa sổ và cửa ra vào của các ngôi nhà, và phát hiện phần lớn chúng xấp xỉ tỉ lệ vàng. Điều đó cho thấy óc thẩm mỹ đã đưa nhân loại đến gần tỉ lệ vàng mà bản thân họ cũng không biết.
Nhận thức không điều kiện của con người
Sở dĩ nó được con người áp dụng nhiều trong các công trình kiến trúc và thiết kế sản phẩm vì nó tạo cho con người ta cảm giác hài hoà khó tả. Khi bạn nhìn một biểu tượng nào đấy, bạn có cảm giác có một điều gì đó khó chịu về mặt tỷ lệ, nhưng khi chỉnh sửa theo tỷ lệ vàng này, nó sẽ cho ta cảm giác cân đối và vừa mắt. Điều này vẫn chưa thể giải thích cặn kẽ được.
Tỉ lệ các cạnh của hình chữ nhật càng gần $\varphi$ thì càng bắt mắt. Hình chữ nhật có $$\dfrac{\text{chiều dài}}{\text{chiều rộng}} = \varphi$$ được gọi là hình chữ nhật vàng.
Trong một cuộc nghiên cứu nổi tiếng do Gustav Fechner tiến hành năm 1876, trong đó người ta được yêu cầu chọn một hình chữ nhật ưng ý nhất trong số một bộ các hình chữ nhật có kích thước từ một vuông đến gấp đôi. Kết quả là kích thước hình chữ nhật càng gần với hình chữ nhật vàng thì số người lựa chọn càng tăng lên. Ông còn nghiên cứu xa thêm bằng cách đo đạc tỉ lệ của các cửa sổ và cửa ra vào của các ngôi nhà, và phát hiện phần lớn chúng xấp xỉ tỉ lệ vàng. Điều đó cho thấy óc thẩm mỹ đã đưa nhân loại đến gần tỉ lệ vàng mà bản thân họ cũng không biết.
Trong tự nhiên
Cả loài người vẫn không thể giải thích được tại sao vô số những thực thể hữu cơ lẫn vô cơ tìm thấy trong tự nhiên lặp đi lặp lại tỷ lệ đặc biệt trên. Nguyên nhân đằng sau con số chi phối sự cân đối hài hoà và vẻ đẹp của toàn thể vũ trụ và nhân loại ấy là gì? Câu hỏi này đã thu hút sự quan tâm đặc biệt của rất nhiều người trong hàng thiên niên kỷ qua, nhưng cho đến ngày nay nó vẫn tiếp tục là một điều bí ẩn.
Đầu tiên là trên các loài hoa và cây cỏ, tỷ lệ vàng xuất hiện rất phổ biến (bạn có thể xem thêm hình ở đây - tập hợp bởi Google)
Đến các loài động vật trong tự nhiên, loại xoắn ốc này cũng có tên gọi là xoắn ốc Fibonacci (Fibonacci spiral hay Golden spiral), vì sao nó có tên như vậy? Vì chiều dài của các cạnh tuân theo quy luật dãy số Fibonacci, ví dụ như hình dưới đây.
Cho đến dãy ngân hà và hình hài của các cơn bão,
Trên cơ thể con người
Trên cơ thể con người có rất nhiều chiều dài tuân theo tỷ lệ vàng (đặt trường hợp một người được xem là hoàn hảo). Khuôn mặt của một người được xem là đẹp nhất nếu như nó tuân thủ theo tỷ lệ vàng. Chiều cao cơ thể và chiều ngang nếu cân đối với tỷ lệ vàng cũng giúp cho người trông cân đối và đẹp hơn.
.png)
Trong các công trình kiến trúc, tác phẩm nghệ thuật
Từ thời xa xưa, con người đã áp dụng tỷ lệ này vào các công trình kiến trúc và điêu khắc. Không biết khi ấy họ có biết đến tỷ lệ này chưa hay chỉ đơn thuần dựa vào cảm quan của bản thân.
Bên dưới là hình tháp Eiffel của Pháp (góc trên trái), đền Taj Mahal ở Ấn Độ (góc trên phải), một viện bảo tàng ở Anh (góc dưới trái) và đền thờ Parthenon tại Hy Lạp (góc dưới phải).
.png)
Tháp rùa ở Hà Nội,
Và bức danh hoạ "Bửa tối cuối cùng" (The last supper) của đại danh hoạ người Ý Leonardo da Vinci
Và còn rất rất nhiều công trình kiến trúc và tác phẩm nghệ thuật khác, bạn có thể xem ở bộ sưu tâp trên Google Images.
Trong ngôn ngữ thiết kế
Chính vì tỷ lệ vàng mang lại cho con người ta cảm giác hài hoà và dễ chịu nên rất nhiều công ty đã chọn nó khi thiết kế logo cho công ty mình, điển hình có thể kể đến như Apple, Twitter, Toyota, Pepsi, Mercedes-Benz,... Dưới đây là vài ví dụ minh hoạ, bạn có thể xem đầy đủ hơn ở đây.
Quy tắc phần ba trong nhiếp ảnh
(Phần này tham khảo ở trang Diễn đàn toán học) Hằng số $\varphi$ chi phối hầu như mọi thiết kế của tự nhiên nói chung và các sinh thể nói riêng, tạo ra vẻ đẹp hài hòa. Tỉ lệ vàng là một khuôn mẫu đã đi vào sách vở và vẫn được giảng dạy cho đến ngày nay, do đó việc người ta áp dụng nó trong nhiếp ảnh là một điều dễ hiểu.
Trong nhiếp ảnh, người ta thường nói đến quy tắc phần ba: $1+0,618+1$.
Các nhiếp ảnh gia giàu kinh nghiệm đều biết Tỉ lệ vàng trong việc sắp xếp bố cục, và sử dụng chúng nhuần nhuyễn một cách gần như tự động, không phải suy nghĩ. Nhưng trước khi đạt được đến trình độ ấy thì họ thường phải học hỏi và luyện tập nhiều. Dưới đây là một số bức ảnh chụp có sử dụng quy tắc này.
 |  |
Khi càng đặt nhiều đường “Phi” trùng với các đường nét chính của chủ thể, thì tính hấp dẫn càng cao hơn. Như với thí dụ trên, con mắt của con ngựa được đặt ngay một “giao điểm” của “Phi”. | |
 |  | |
| Một ví dụ khác, với hình trên, cách bố trí điểm “Phi” được đặt ở ngay mắt trái của chủ thể, để tạo chủ điểm hấp dẫn. | Đường chân trời được đặt ngay tại "Phi" trên,ngôi nhà thờ, và con đường tạo mối liên kết với nhau |
 |  |
Bạn sẽ còn ngỡ ngàng với thế giới tự nhiên và toán học lại có sự liên quan kỳ lạ đến thế. Blog sẽ cố gắng giới thiệu với bạn thêm nhiều "số" khác. Cảm ơn bạn đã theo đọc bài viết này.
Từ khoá tiếng Anh để tìm kiếm bài này : What is the Golden ratio? Golden ratio in mathematics and reality. Golden ration in real life.
Tạo bảng biến thiên và bảng xét dấu trong LaTeX
Soạn tài liệu bằng $\LaTeX$ đã khó mà tạo bảng biến thiên bằng $\LaTeX$ còn khó hơn. Để làm việc này chúng ta dùng gói lệnh Tikz. Tuy nhiên gói lệnh đó chỉ tạo cho ta cái bảng, còn lại chúng ta phải tự làm. Bài viết này giới thiệu đến các bạn phần mềm có tên WxGeometrie nó giúp chúng ta lập bảng biến thiên và bảng xét dấu của một hàm số.
A. Tạo bảng biến thiên của hàm số
B. Tạo bảng xét dấu của biểu thức
Tương tự trên nhưng trong mục Type de tableau... bạn chọn Tableau de signes rồi nhập biểu thức cần lập bảng xét dấu vào ô, rồi nhấn OK để có được đoạn mã. Trong hình là mình tạo bảng xét dấu cho biểu thức $(x^2-3x++2)(x+5)$.
Kết quả ta được
Chúc các bạn thành công!Bài sắp đăng: Phương pháp hàm số trong giải phương trình, hệ phương trình
Nghịch lý Monty Hall
1. Nội dung Nghịch lý Monty Hall
Tại Châu Âu, từng thịnh hành trò chơi mang tên "Dốc sức". Ở phần kết thúc người chơi được chọn phần thưởng của mình được để ở một ba chiếc hộp đậy kín như hình vẽ.Sau khi người chơi đã chọn được chiếc hộp mà người chơi tin rằng trong đó có phần thưởng thì MC (người dẫn chương trình) sẽ mở một trong hai chiếc hộp còn lại (tất nhiên là chiếc hộp này không có phần thưởng rồi). Sau đó còn lại hai chiếc hộp, MC cho phép người chơi được quyền đổi hoặc giữ nguyên cái hộp lúc ban đầu.
Vậy câu hỏi được đặt ra là có nên đổi chiếc hộp hay không ?
Nhiều người chúng ta sẽ trả lời rằng: Đổi hay không thì xác suất cũng là $50%$ thôi. Do đó khả năng có được phần thưởng là $50 - 50$.
Tuy nhiên, với Xác suất chúng ta sẽ chỉ ra rằng, nếu đổi chiếc hộp thì xác suất của chúng ta sẽ tăng từ $\dfrac{1}{3}$ lên thành $\dfrac{2}{3}$. Tại sao có điều vô lý như vậy ? Ta thường gọi đây là nghịch lý Monty Hall
Monty Hall
Trước khi chứng minh nghịch lý này bằng xác suất, chúng ta cùng xem minh họa cho khẳng định trên qua hình vẽ dơn giản sau:
Hình vẽ minh họa khẳng định
2. Chứng minh bằng xác suất
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh bằng Toán học.Các bạn cần nhớ lại Định lý Bayes trong Toán học:
$$P\left ( A|B \right )=\dfrac{P\left ( B|A \right )P\left ( A \right )}{P\left ( B \right )}$$
Giải thích đơn giản cho định lý này là: Xác suất để xảy ra biến cố A khi biết biến cố B thì đúng bằng tích của xác suất để xảy ra biến cố B khi biết biến cố A với xác suất xảy ra biến cố A chia cho xác suất xảy ra biến cố B.
Trong bài toán trên, chúng ta có 3 biến cố quan trọng:
- Hộp mà người chơi chọn, ký hiệu $D_n$.
- Hộp mà MC mở, ký hiệu $M_n$.
- Hộp có phần thưởng, ký hiệu là $C_n$.
$$\begin{align*}
P=&P\left ( C_2|M_3,D_1 \right )\\=&\dfrac{P\left ( M_3,C_2|D_1 \right )}{P\left ( M_3|D_1 \right )}\\=&\dfrac{P\left ( M_3|C_2,D_1 \right )P\left ( C_2|D_1 \right )}{P_1+P_2+P_3}\\
=&\dfrac{1.\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} +1.\dfrac{1}{3}+0.\dfrac{1}{3}}\\
=&\dfrac{2}{3}
\end{align*}$$
Trong đó
- $P_1=P\left ( M_3|C_1,D_1 \right )P\left ( C_1|D_1 \right )$
- $P_2=P\left ( M_3|C_2,D_1 \right )P\left ( C_2|D_1 \right )$
- $P_3=P\left ( M_3|C_3,D_1 \right )P\left ( C_3|D_1 \right )$
Vì vậy nếu người chơi chon hộp số 1 và MC mở hộp số 3 thì có 66,6% là phần thưởng ở hộp số 2 và chỉ có 33,3% ở hộp số 1.
Vậy lời khuyên nếu chúng ta là người chơi thì hãy luôn thử vận may đến cùng!
Người Việt có thật sự giỏi Toán như vẫn tưởng?
Chúng ta hay viện dẫn câu chuyện thành công của học sinh Việt Nam trong các kì thi toán quốc tế để chứng minh cho năng lực học toán ở đẳng cấp thế giới của người Việt. Đấy là do cách truyền thông của ta mà thôi.
Bài viết là tâm sự thật của một người trong cuộc.
Người Việt giỏi toán: có thật vậy không?
Đặt vấn đề có chắc người Việt giỏi toán hay không chắc chắn sẽ gây nhiều tranh cãi vì có thể nó sẽ đi ngược lại quan điểm của đa số chúng ta với mặc định rằng: người Việt giỏi Toán hay ít nhất là có năng lực và tiềm năng học Toán?
Theo tôi đây không chỉ là một định kiến mà còn là một sự huyễn hoặc nguy hiểm.
Chúng ta đều biết trong bảng xếp hạng về các đóng góp của các nước trên thế giới vào khoa học và công nghệ thì Việt Nam luôn xếp ở nhóm cuối.
Trong các cuộc tiếp xúc với các nhà khoa học hàng đầu thế giới chúng tôi đã không ngần ngại hỏi họ nhận định thế nào về vị trí của Việt Nam trên bản đồ khoa học và toán học của thế giới và đây là đánh giá của họ:
- Về khoa học: chúng ta là số 0 tròn trĩnh.
- Về Toán học: chúng ta là một chấm rất nhỏ.
Chúng tôi không hề ngạc nhiên về đánh giá này. Ở đây chúng tôi thậm chí còn đưa vấn đề đi xa hơn không chỉ với việc đề cập người Việt không giỏi Toán mà còn nói tới việc liệu có phải chúng ta thực sự có đam mê dành cho Toán học hay không?
Cho đến nay, GS Ngô Bảo Châu là một trong số ít người Việt vẫn theo đuổi nghiệp Toán học và đạt được đỉnh cao.
Câu chuyện ở những kỳ thi Toán quốc tế
Chúng ta hay viện dẫn câu chuyện thành công của học sinh Việt Nam trong các kì thi toán quốc tế để chứng minh cho năng lực học toán ở đẳng cấp thế giới của người Việt. Đấy là do cách truyền thông của ta mà thôi. Sự thật là :1. Kỳ thi toán quốc tế IMO chỉ là một cuộc chơi vui vẻ theo đúng nghĩa của nó. Các nước cử đội tuyển tham dự kì thi này theo tiêu chí vui là chính và hoàn toàn không coi đây là sứ mạng mang về vinh dự quốc gia hay giúp nước đó khẳng định vị thế của họ trên bản đồ toán học thế giới. Sẽ thật là sai lầm nếu qua một cái game dành cho học sinh như vậy mà khẳng định Việt Nam là một cường quốc toán học hay phấn đấu trở thành cường quốc toán học như lời phát biểu của một cựu bộ trưởng.
2. IMO là kì thi dành cho học sinh phổ thông. Không thể dùng một kì thi dành cho học sinh để nói rằng thành tích của nó cũng đúng với sinh viên toán hay các nhà toán học.
3. Cách thức tham dự và chuẩn bị của ta cho IMO không phản ánh năng lực toán học của học sinh Việt.
Chúng ta có hệ thống tuyển chọn chuyên toán trên toàn quốc và luyện gà nòi và gà chọi suốt phổ thông để phục vụ cho cái đích cuối cùng là IMO. Các nước khác không như vậy. Họ không có kiểu luyện gà nòi suốt phổ thông và sàng lọc dã chiến như ta. Công tác lập đội tuyển từ địa phương là rất mở cho mọi đối tượng và việc tập trung đội tuyển chỉ rất ngắn ngủi trước khi kì thi diễn ra. Tất nhiên ở đây không loại trường hợp có các nước cũng luyện gà chọi lâu năm như ta.
Và như vậy việc đạt giải cao nhờ học cày bừa và luyện lâu năm chưa thể khẳng định là giỏi hơn việc không đạt giải cao bằng mà học và luyện ít hơn.
Lấy thêm ví dụ thi SAT ở Việt Nam và Trung Quốc để minh họa cho việc này: học sinh Việt Nam và Trung Quốc dành khoảng 2-3 năm cày bừa và luyện tủ theo tips hay đề cũ của SAT và kết quả rất cao ở mức trên 2300/2400. Học sinh Mỹ hiếm có số điểm như vậy vì họ không luyện SAT mà chỉ làm bài tập theo kiểu làm quen với dạng bài để tránh bỡ ngỡ không cần thiết mà có thể gây mất thời gian khi thi thật. Và ta không thể nói là học sinh Việt Nam và Trung Quốc giỏi tiếng Anh hơn học sinh Mỹ được.
4. Trong suốt mấy chục năm tham gia IMO chúng ta có tới mấy trăm học sinh đạt giải. Theo quan điểm của người Việt và truyền thông của ta thì đây đều là các tài năng toán học. Nhưng chúng ta cần biết rằng trong số này chỉ có một lượng rất nhỏ là đi theo toán và không phải ai cũng gặt hái thành công như GS Ngô Bảo Châu. Có nhiều người học toán và dạy toán nhưng rất ít làm công tác nghiên cứu toán và càng ít có đóng góp cho toán học qua nghiên cứu.
Dạy toán vì thế khác xa với việc trở thành nhà Toán Học.
Chúng ta có thể/nên làm gì?
Các chính sách của ta dường như đã dành hết mọi nỗ lực vào công tác luyện toán phổ thông mà không phát triển các bộ phận thực ra mới là cấu thành của một nền toán học. Đó là:1. Hệ thống đào tạo toán học từ bậc ĐH trở lên.
2. Mạng lưới những nhà nghiên cứu và làm toán học. Mạng lưới này cần hoạt động hiệu quả về kết quả nghiên cứu và có kết nối với nền toán học thế giới.
3. Phát triển toán ứng dụng. Toán học cần được đưa vào cuộc sống đặc biệt là qua khoa học và công nghệ.
Thay đổi cách tiếp cận:
Việc ưu ái và tập trung vào môn toán quá mức như ở ta đã dẫn đến bỏ bê các vấn đề kiến thức và môn học xã hội như một hệ lụy. Chúng ta tiếp cận với giáo dục trẻ em rất mất cân bằng như sau:
1. Tập trung phát triển não bộ bên phải. Não trái đã không được tận dụng và phát huy. Giáo dục tập trung vào nhồi kiến thức mà không đánh thức cảm xúc và sự sáng tạo.
2. Mặc nhiên coi toán là một cách thức hay cứu cánh để phát triển tư duy. Chúng ta thường viện dẫn các cá nhân học Toán thành công trong các lĩnh vực để ngụy biện cho sự cần thiết phải học toán để có tư duy. Nếu nền giáo dục của ta làm được việc dạy tư duy qua kiến thức của tất cả các môn hay lĩnh vực khác chứ không chỉ là qua toán học thì câu chuyện đã khác nhiều.
Ngày nay nhiều học sinh vẫn đổ xô đi học toán để chạy đua vào trường chuyên lớp chọn. Đích ngắm là trường chuyên chứ chưa phải vì đam mê. Các bố mẹ đã tỉnh hơn nhưng cũng thực dụng hơn. Họ cho con đi học toán chỉ vì nó là một môn thi vào trường chuyên và nếu môn thi này chuyển sang cái khác thì họ cũng sẽ gạt môn toán sang một bên, không thương tiếc.
Rất cần phát triển ngành toán học đặc biệt là các ngành toán cao cấp và toán ứng dụng chứ không chỉ tập trung vào toán học ở bậc phổ thông như hiện nay. Đồng thời cũng cần tìm ra phương cách chọn được các tài năng đích thực của toán học, đến với toán bằng đam mê chứ không phải các tính toán thực dụng.
Nguyễn Tuấn Hải (Theo Vietnamnet)
Grigori Perelman: Thiên tài Toán học kỳ dị
Cái tên Grigori Perelman đã trở nên lừng lẫy trong lịch sử toán học thế giới, trong đó có cột mốc quan trọng: ông được chọn trao huy chương toán học cao quý Fields năm 2006. Nhưng Perelman chẳng tỏ vẻ quan tâm, thậm chí chẳng màng đi nhận giải!
Công trình vĩ đại
Đối với các nhà toán học danh tiếng, việc nhận được một thư mời để tham dự Đại hội các nhà toán học quốc tế đã là một vinh dự lớn lao. Nhưng vinh dự lớn nhất thì phải thuộc về bốn cái tên được xướng lên ở mỗi kỳ đại hội để nhận giải thưởng Fields danh giá. Thế nhưng, tại kỳ đại hội diễn ra vào năm 2006 tại Madrid (Tây Ban Nha), một nhà toán học lỗi lạc đã khiến cả thế giới phải ngạc nhiên, bởi ông không hề mảy may quan tâm đến sự kiện quan trọng bậc nhất của dân trong ngành này, thậm chí chẳng buồn xuất hiện, dù ông là người được chọn trao huy chương Fields. Đó chỉ có thể là Grigori Perelman - nhà toán học kỳ lạ của thế kỷ 21.
Giả thuyết Poincare:
Nếu một đa tạp ba chiều compact không có biên là đơn liên, thì nó đồng phôi với mặt cầu ba chiều.
Năm 2003 có một sự kiện làm rúng động giới toán học quốc tế. “Có ai đó” đã chứng minh được giả thuyết Poincare - một trong những thách đố hóc búa suốt thiên niên kỷ - bằng cách… tung lên mạng internet. Giả thuyết Poincare được Henri Poincare (người Pháp) đưa ra từ năm 1904, có ý nghĩa cực kỳ quan trọng trong việc nghiên cứu vũ trụ nhưng cho đến thời điểm kể trên, vẫn chưa có ai chứng minh được. Cảm nhận đầu tiên của giới hàn lâm là "chắc đây là đồ dỏm", bởi bất kỳ một nhà khoa học có tên tuổi nào cũng luôn chọn những tạp chí chuyên ngành, càng danh tiếng càng tốt để công bố công trình khoa học của mình. Tất nhiên, đó phải là công trình có ý nghĩa một chút thì mới được lên báo. Chẳng lẽ người giải được thách đố thiên niên kỷ lại chẳng thuyết phục nổi một tạp chí nào chịu đăng công trình của mình ư? Nhưng nếu đó là Perelman thì lại là chuyện khác. Nếu một đa tạp ba chiều compact không có biên là đơn liên, thì nó đồng phôi với mặt cầu ba chiều.
Trong một thời gian dài không ai dám đứng ra đoan chắc rằng công trình này là đúng, tuy rằng không có lỗi nghiêm trọng nào được phát hiện. Đến hè năm nay 2006 thì ba nhóm độc lập với nhau đã công bố kết quả công việc kiểm tra công phu của mình và sự đồng thuận đã được hình thành trong các chuyên gia là Perelman đã chứng minh Giả thuyết Poincaré, chấm dứt sự tồn tại của nó sau gần 1 thế kỷ.
Từ chối những giải thưởng
Perelman là một thiên tài toán học bộc lộ từ nhỏ. Sau khi lấy bằng tiến sĩ ở Đại học Saint Petersburg (Nga), ông lập tức nhận được nhiều lời mời giảng dạy tại các trường đại học danh tiếng của Mỹ. Nhưng ông nhanh chóng rời bỏ các trường đại học này, quay về Nga để làm việc tại Viện toán Steklov. Rồi trong một ngày đẹp trời, Perelman bất ngờ tung lên mạng lời giải cho giả thuyết Poincare, chẳng màng đưa ra những giải thích kỹ lưỡng trong bài giải của mình, khiến cho giới hàn lâm mất rất nhiều thời gian nghiên cứu, tìm hiểu trước khi tuyên bố Perelman chính là người đã đập vỡ “thách đố thiên niên kỷ’.
Perelman đã khiến nhiều người bị sốc khi không buồn nhận huy chương Fields danh giá. Nhưng một số ít người biết rõ về ông thì chắc chắn chẳng sốc tí nào. Trước đó, vào năm 1994, Perelman từng không thèm nhận giải thưởng của Hội Toán học châu âu. Lý do: Ban giám khảo không đủ trình độ để đánh giá mà trao giải thưởng cho ông!
Nhưng cú từ chối gây xôn xao dư luận nhiều nhất mang đơn giá đến 1 triệu USD do Viện toán học Clay (Mỹ) trao. Về mặt uy tín quốc tế, chắn chắn huy chương Fields xếp trên giải thưởng của Viện Toán học Clay, nhưng về mặt vật chất thì khác hẳn. Trong khi huy chương Fields mang đến cho người được trao giải 15.000 dollar Canada (14.500 USD), thì giải thưởng của Clay trị giá đến 1 triệu USD. Hãng thông tấn AP từng đưa tin, người đại diện của Viện toán học Clay là James Carlson đã tìm mọi cách liên lạc với thiên tài toán học, hy vọng lần này sẽ có sự thay đổi. Nhưng vẫn như thường lệ, Perelman dửng dưng lắc đầu!
Một người hàng xóm cho biết trong nhà Perelman chẳng có gì, ngoài cái bàn thô sơ và tấm nệm bẩn thỉu, cũ kỹ do chủ trước của căn hộ, một gã nghiện rượu để lại. Một người khác thì tiết lộ nhà của thiên tài toán học chính là nơi ẩn náu an toàn cho… gián. Bà này cho biết khu chung cư nơi Perelman sống không thể diệt nổi gián vì lý do này.
Trong một lần hiếm hoi hé cửa nói chuyện với báo giới, Perelman bảo rằng ông đã có tất cả những thứ ông cần và không muốn làm con thú trong thảo cầm viên cho thiên hạ nhìn!
Căn hộ nhung nhúc gián
Đến đây, người ta dễ lầm tưởng rằng thiên tài toán học đã quá giàu có, đến độ không coi 1 triệu USD ra gì. Nhưng Perelman đã thất nghiệp từ mấy năm nay, bỏ ngoài tai tất cả những lời mời chào nghiên cứu, giảng dạy với mức lương “khủng”. Người đàn ông chưa vợ này cũng hiếm khi ra ngoài, không trả lời báo giới, sống thu mình trong một căn hộ bé xíu, cũ kỹ ở Saint Petersburg cùng với mẹ già.Một người hàng xóm cho biết trong nhà Perelman chẳng có gì, ngoài cái bàn thô sơ và tấm nệm bẩn thỉu, cũ kỹ do chủ trước của căn hộ, một gã nghiện rượu để lại. Một người khác thì tiết lộ nhà của thiên tài toán học chính là nơi ẩn náu an toàn cho… gián. Bà này cho biết khu chung cư nơi Perelman sống không thể diệt nổi gián vì lý do này.
Trong một lần hiếm hoi hé cửa nói chuyện với báo giới, Perelman bảo rằng ông đã có tất cả những thứ ông cần và không muốn làm con thú trong thảo cầm viên cho thiên hạ nhìn!
Nữ thần đồng Toán học và tuổi thơ đầy nuối tiếc
Ruth Lawrence là một trong những người lấy bằng tiến sĩ trẻ nhất thế giới. Cô thuộc top 30 người thông minh nhất hành tinh.
Ruth Lawrence (nay là Ruth Elke Lawrence-Naimark) sinh năm 1971 tại Brighton (Anh). Lawrence là thần đồng toán học với hàng loạt thành tựu lớn.
9 tuổi, cô lập kỷ lục với Chứng chỉ Giáo dục tổng quát (GCSE) về Toán học và đạt điểm tối đa trong chương trình tú tài Toán học thuần tuý.
Hai năm sau, Ruth Lawrence trở thành người trẻ nhất vượt qua kỳ thi đầu vào của Đại học Oxford danh giá, với kết quả đứng đầu trong tổng số 530 ứng cử viên. Cô lấy bằng cử nhân toán tại Oxford năm 13 tuổi và tiếp tục học thêm ngành Vật lý.
Năm 17 tuổi, Lawrence nhận bằng tiến sĩ. Nhờ đó, cô trở thành một trong những người có bằng tiến sĩ trẻ nhất thế giới. Năm 1990, cô gái người Anh đến ĐH Harvard làm việc. Sau đó, cô được phong giáo sư tại ĐH Harvard và ĐH Michigan.
Tuy nhiên từ sau năm 1999, cô chuyển sang Viện Toán học Einstein, thuộc ĐH Hebrew tại Jerusalem (Israel) công tác.
Chủ đề Toán học Lawrence nghiên cứu quá tiên tiến, trừu tượng và phức tạp đối với trí não của những nhà không chuyên. Phải mất rất nhiều năm nữa khoa học và công nghệ mới có thể ứng dụng được nó. (Charles Arthur)
Đến nay, thần đồng toán học xuất bản gần 20 cuốn sách, công bố nhiều kết quả nghiên cứu nổi tiếng về Toán học và Vật lý lượng tử. Nổi bật trong đó là Thuyết Nút thắt (Knot Theory) - hiện được giảng dạy tại nhiều trường đại học trên thế giới.
Năm 1997, nhà báo Charles Arthur đã bình luận về Thuyết Nút thắt trên tờ The Independent: “Chủ đề Toán học Lawrence nghiên cứu quá tiên tiến, trừu tượng và phức tạp đối với trí não của những nhà không chuyên. Phải mất rất nhiều năm nữa khoa học và công nghệ mới có thể ứng dụng được nó".
Tuổi thơ đầy hối tiếc
“Đằng sau mỗi đứa trẻ thiên tài có một tuổi thơ trắc trở” là tiêu đề của không ít bài báo viết về cuộc đời của những thần đồng như Ruth Lawrence.
Theo The Guardian, cha mẹ của Lawrence - ông Harry Lawrence và bà Sylvia Greybourne đều là chuyên gia máy tính. Khi nhận thấy con gái mình bộc lộ trí thông minh hơn người, ông Harry quyết định bỏ việc để tập trung giáo dục cô tại nhà.
Thay vì đến trường, Lawrence học theo giáo trình của cha - người cho rằng cô cần được bảo vệ khỏi “những cuộc trò chuyện tầm thường và vui chơi vô bổ”. Do đó, suốt những năm tháng tuổi thơ, cô chỉ làm bạn với các công thức và con số.
Trên tờ The Free Library, dù khẳng định Toán học là niềm đam mê của mình song Lawrence vẫn thừa nhận: “Tôi không chê trách cha mẹ, thậm chí tôi đánh giá cao nỗ lực của cha và biết ơn vì những gì ông ấy đã dành cho con gái. Nhưng có lẽ tôi thích một tuổi thơ khác.
Cuộc hôn nhân "nổi loạn"
Năm 1998, Ruth Lawrence kết hôn với Ariyeh Naimark - nhà toán học cũng dạy tại ĐH Hebrew ở Jerusalem (Israel). Ariyeh từng có một đời vợ và chỉ kém cha của Ruth 6 tuổi. Cuộc hôn nhân lệch tuổi của họ từng gây xôn xao dư luận thời bấy giờ.
Theo The Independent, nhiều ý kiến cho rằng, việc ly hôn giữa cha mẹ từ năm Lawrence 13 tuổi khiến cô có quyết định không sáng suốt. Trong khi đó, số khác lại coi đây là việc “nổi loạn” thường thấy ở những thiên tài.
Trả lời phỏng vấn, thần đồng toán học cho biết: “Tôi từng rất buồn khi cha mẹ chia tay. Nhưng điều đó không liên quan đến quyết định hôn nhân của tôi".
Sau khi kết hôn, Ruth Lawrence đổi tên thành Ruth Elke Lawrence-Naimark. Hiện cô sống bên chồng cùng hai con tại Jerusalem.
Thử sức với bài toán khó nhất trong PISA
Các quốc gia châu Á, bao gồm cả Việt Nam, vượt xa các quốc gia khác trong kì thi PISA do OECD tổ chức. Liệu bạn có thể giải được bài toán được xếp hạng khó nhất trong kì thi này?
Câu hỏi
Một cửa quay bao gồm 3 cánh cửa có khả năng quay trong một căn phòng hình tròn. Đường kính của căn phòng này là 2 mét (200 cm). 3 cánh cửa chia căn phòng ra làm 3 phần có diện tích bằng nhau. Sau đây là sơ đồ cánh cửa tại các vị trí khác nhau, khi nhìn từ góc thẳng đứng phía trên:
2 phần cửa ra vào (phần nét đứt) có kích thước bằng nhau. Nếu phần cửa ra và cửa vào có kích cỡ quá lớn, các cánh cửa sẽ không thể ngăn cách không gian; một luồng không khí có thể đi thẳng qua 2 cánh cửa, từ bên ngoài tòa nhà vào bên trong tòa nhà (gây tăng/giảm nhiệt độ trong nhà một cách không mong muốn). Nhìn hình dưới đây để hình dung ra đường đi của luồng không khí trong trường hợp kích cỡ của 2 cánh cửa quá lớn.
Vậy, chiều dài tối đa của đường cong nét đứt của mỗi phần cửa ra/vào là gì, để không khí không thể đi thẳng từ cửa ra tới cửa vào và ngược lại?
Câu trả lời
Điểm tối đa: Câu trả lời là từ 103 tới 105. Câu trả lời được chấp nhận được tính bởi công thức bằng 1/6 của chu vi hình tròn bao quanh căn phòng. Câu trả lời bằng 100 cũng được chấp nhận, nếu thí sinh tính pi = 3. Nếu trả lời là 100 và không đưa ra giải thích như trên, câu trả lời sẽ không được tính điểm (bởi thí sinh có thể đã đoán câu trả lời bằng với chiều dài của cánh cửa, tức là bán kính của hình tròn).
Không tính điểm: Tất cả các câu trả lời khác. Không tính câu trả lời 209 (tương đương với tổng kích cỡ của cả 2 cửa, thay vì mỗi cửa như yêu cầu đề bài).
Giải thích
Để đạt điểm tối đa, thí sinh phải trả lời rằng kích cỡ tối đa của cánh cửa là 1/6 của chu vi đường tròn, tính ra chính xác bằng đơn vị centi-mét.
Theo như biểu đồ ở phía trên, không khí sẽ di chuyển từ bên ngoài qua cửa vào tới thẳng cửa ra nếu như phần tường nằm giữa cửa ra và cửa vào ngắn hơn phần chu vi 2 cánh cửa liên tiếp chặn lại. Do mỗi phần tường có kích cỡ bằng đúng 1/3 chu vi căn phòng, và có 2 cánh cửa tương đương với 2/3 chu vi, do đó tổng kích cỡ cửa ra và cửa vào phải nhỏ hơn 1 – 2/3 = 1/3 chu vi. Do cửa ra và cửa vào có kích cỡ bằng nhau, mỗi cánh cửa sẽ phải nhỏ hơn (1/3)/2 = 1/6 chu vi của căn phòng.
Câu hỏi trên là một trong các câu hỏi khó nhất trong kì thi PISA, nằm ở phần trên của hạng khó nhất (Hạng 6). Câu hỏi này đòi hỏi thí sinh phải có tư duy tốt về hình học (không gian và hình dạng). Cũng bởi độ khó của câu hỏi này, thí sinh chỉ có thể đạt điểm tối đa, hoặc không đạt điểm nào. Dù chỉ đòi hỏi tư duy toán học căn bản, câu hỏi này đòi hỏi thí sinh phải phân tích một cách cẩn thận dựa trên tư duy hình học.
Theo Business Insider, VnReview
Nhà toán học và nhà văn
Một nhà toán học và một nhà văn bị một bộ tộc da đỏ bắt. Tù trưởng của bộ lạc này là một người rất thông minh và cũng đã từng được học hành. Sau khi bỏ đói ba ngày, tù trưởng cho lính dắt nhà Toán học vào một căn phòng và bảo ông ta sắp được ăn. Nhà Toán học được đặt ngồi trên một chiếc ghế ở góc phòng, bụng khấp khởi mừng khi nhìn thấy một mâm sơn hào hải vị đặt ở góc phòng bên kia. Tên tù trưởng giải thích
- Mày phải ngồi yên trên ghế, cứ 1 phút mày lại được quyền kéo cái ghế 1 nửa quãng đường tới mâm cơm.
Nhà Toán học giãy nảy
- Tao sẽ không tham. Trò giễu cợt này, không một thằng nào là không biết rằng tao sẽ chẳng bao giờ đến được chỗ mâm cơm.
Tù trưởng cũng không làm khó dễ gì nhà Toán học, ông này cắp bụng đói về phòng nhốt mình.
Tới lượt nhà Văn học được đưa ra với điều kiện tương tự. Khi nghe tên tù trưởng giải thích luật chơi, mắt ông này sáng rực và ngồi ngay vào ghế. Tù trưởng vờ ngạc nhiên hỏi
- Chẳng nhẽ mày không thấy là mày sẽ chẳng bao giờ đến tới chỗ mâm cơm hay sao?
Nhà văn học mỉm cười
- Tao không tới tận chỗ mâm cơm, nhưng tao có thể đến … đủ gần để ăn được cơm.
Nhà Toán học giãy nảy
- Tao sẽ không tham. Trò giễu cợt này, không một thằng nào là không biết rằng tao sẽ chẳng bao giờ đến được chỗ mâm cơm.
Tù trưởng cũng không làm khó dễ gì nhà Toán học, ông này cắp bụng đói về phòng nhốt mình.
Tới lượt nhà Văn học được đưa ra với điều kiện tương tự. Khi nghe tên tù trưởng giải thích luật chơi, mắt ông này sáng rực và ngồi ngay vào ghế. Tù trưởng vờ ngạc nhiên hỏi
- Chẳng nhẽ mày không thấy là mày sẽ chẳng bao giờ đến tới chỗ mâm cơm hay sao?
Nhà văn học mỉm cười
- Tao không tới tận chỗ mâm cơm, nhưng tao có thể đến … đủ gần để ăn được cơm.
Sưu tầm trên Internet
Chuyện vui toán học
1. Một nhà toán học và một anh kỹ sư tham gia một buổi nói chuyện về hình học trong không gian 13 chiều.
Sau buổi nói chuyện, nhà toán học hỏi anh kỹ sư : "Anh cảm thấy thế nào ?"
Anh kỹ sư trả lời : "Tôi không thể hiểu nổi làm sao anh có thể cảm nhận được hình ảnh trong không gian 13 chiều !"
Nhà toán học trả lời : "Không khó lắm đâu. Tôi chỉ cần hình dung nó trong không gian N chiều bất kỳ rồi cho N = 13".
Sau buổi nói chuyện, nhà toán học hỏi anh kỹ sư : "Anh cảm thấy thế nào ?"
Anh kỹ sư trả lời : "Tôi không thể hiểu nổi làm sao anh có thể cảm nhận được hình ảnh trong không gian 13 chiều !"
Nhà toán học trả lời : "Không khó lắm đâu. Tôi chỉ cần hình dung nó trong không gian N chiều bất kỳ rồi cho N = 13".
2. Có 2 nguời bạn đang đi chơi trên khinh khí cầu (KKC), họ bị lạc hướng nên phải hạ thấp xuống để hỏi đường. Khi thấy một anh ở dưới, một người hỏi : "chúng tôi đang ở đâu đấy?". Anh chàng dưới đất trả lời: "Các anh đang ở trên một cái KKC". Người trên KKC hỏi tiếp: "Anh là dân Toán à?". "Đúng rồi".
Nguời bạn kia ngạc nhiên hỏi: "Sao anh biết người ta là dân toán?". Anh bạn này bảo: "Thì đấy, họ trả lời bao giờ cũng rất chính xác, nhưng lại không giúp được gì cả!''.
Nguời bạn kia ngạc nhiên hỏi: "Sao anh biết người ta là dân toán?". Anh bạn này bảo: "Thì đấy, họ trả lời bao giờ cũng rất chính xác, nhưng lại không giúp được gì cả!''.
3. Một chủ doanh nghiệp đi về quê chơi cùng 1 người bạn là dân toán. Họ thấy một đàn bò rất lớn trên một đồng cỏ. Anh doanh nghiệp nói:'' nhiều bò quá, tôi chưa bao giờ thấy nhiều thế này, có lẽ phải hàng nghìn con''. Anh bạn toán học trả lời : '' Đúng đấy, có cả thẩy 2428 con''. ''Trời, làm sao mà anh lại đếm được nhanh thế? anh chủ DN hỏi. Anh toán học trả lời:'' À, tôi đếm tất cả chân rồi chia cho 4 là xong''.
4. Có 2 anh bạn là thầy giáo toán đang ngồi uống bia. Khi đã ngà ngà, thầy thứ nhất nói:
- "Không biết trình độ toán của mọi người bây giờ thế nào, học qua phổ thông thì cũng biết khối thứ, nhưng sợ lại quên hết''.
Thầy thứ hai bảo: "theo tớ thì cũng nhiều người biết lắm, không như cậu nghĩ đâu".
Nhân lúc anh thứ nhất đi ra ngoài, anh kia gọi cô chạy bàn lại và dặn: '' lát nữa tôi có hỏi gì thì cô cứ nói là bằng x mũ 3 chia 3 nhé''. Cô bé lẩm bẩm đọc x mũ ba chia ba, x mũ ba chia ba và nói: ''Vâng, em nhớ rồi''.
Lát sau anh kia vào, anh thứ hai mới nói ''để tớ thử gọi cô phục vụ ra và hỏi một câu về toán nhé''. Anh thứ nhất đồng ý. Khi cô phục vụ được hỏi ''tích phân của x bình phương là bao nhiêu?'' Cô đã trả lời chính xác: bằng x mũ ba chia ba. Sau khi bước đi cô còn quay lại nguýt anh thứ hai : ''anh còn thiếu hằng số C đấy nhá !''
5. Có một thầy giáo toán và một anh kỹ sư cùng tham gia một trò chơi. Họ được đưa vào một hội trường trống và được xếp đứng ở một đầu. Đầu kia xuất hiện một cô gái đẹp. Người chủ trò dặn: mỗi khi các anh nghe thấy một tiếng bíp thì được chạy về phía cô gái, nhưng chỉ được 1/2 quãng đường thôi.
Sau đó có tiếng bíp phát ra, rồi tiếng nữa, tiếng nữa. Anh kỹ sư chạy dần về phía cô gái, còn anh toán thì vẫn ngồi. Người chủ trò hỏi anh toán: "Tại sao anh không chạy?". "Bởi vì tôi biết trước là chẳng bao giờ đến được đích cả", anh ta trả lời.
Khi được hỏi, anh kỹ sư trả lời: Bởi vì tôi biết rằng, sau một số hữu hạn tiếng bíp, tối sẽ tiến được tới cô gái đó với khoảng cách đủ nhỏ...
6. Khi nhìn thấy một phương trình, nhà Cơ khí sẽ lập tức liên tưởng phương trình với thực tế, nhà Vật lý thì ngược lại, so sánh thực tế với phương trình này. Còn nhà Toán học thì ... ngắm nhìn và nói: "rất đẹp".
7. Một ngày kia, chủ trang trại cho gọi các nhà khoa học: nhà Cơ khí, nhà Vật lý học và nhà Toán học, và hỏi họ về cách rào quanh trang trại: dùng ít nhất số lượng rào chắn để rào xung quanh một khu có diện tích lớn nhất có thể được.
Nhà Cơ khí thực hiện rào xung quanh một vòng tròn và tuyên bố rằng anh ta đã thiết kế được một cách có hiệu quả nhất.
Nhà Vật lý thì thực hiện rào theo một đường dài, thẳng với giả thiết đặt ra: "Giả sử hàng rào của chúng ta là dài vô hạn..." và như thế ta sẽ rào được một nửa Trái đất. Tất nhiên, không còn cách nào lại có hiệu quả hơn thế - nhà Vật lý tuyên bố một cách rất tự tin. Nhà Toán học cười lớn. Anh ta xây dựng một hàng rào nhỏ xung quanh mình và nói: "Tôi đã chỉ ra một cách thực hiện tốt nhất, như thế tất cả phần diện tích trên Trái đất sẽ được rào trừ chỗ tôi đứng" .
4. Có 2 anh bạn là thầy giáo toán đang ngồi uống bia. Khi đã ngà ngà, thầy thứ nhất nói:
- "Không biết trình độ toán của mọi người bây giờ thế nào, học qua phổ thông thì cũng biết khối thứ, nhưng sợ lại quên hết''.
Thầy thứ hai bảo: "theo tớ thì cũng nhiều người biết lắm, không như cậu nghĩ đâu".
Nhân lúc anh thứ nhất đi ra ngoài, anh kia gọi cô chạy bàn lại và dặn: '' lát nữa tôi có hỏi gì thì cô cứ nói là bằng x mũ 3 chia 3 nhé''. Cô bé lẩm bẩm đọc x mũ ba chia ba, x mũ ba chia ba và nói: ''Vâng, em nhớ rồi''.
Lát sau anh kia vào, anh thứ hai mới nói ''để tớ thử gọi cô phục vụ ra và hỏi một câu về toán nhé''. Anh thứ nhất đồng ý. Khi cô phục vụ được hỏi ''tích phân của x bình phương là bao nhiêu?'' Cô đã trả lời chính xác: bằng x mũ ba chia ba. Sau khi bước đi cô còn quay lại nguýt anh thứ hai : ''anh còn thiếu hằng số C đấy nhá !''
5. Có một thầy giáo toán và một anh kỹ sư cùng tham gia một trò chơi. Họ được đưa vào một hội trường trống và được xếp đứng ở một đầu. Đầu kia xuất hiện một cô gái đẹp. Người chủ trò dặn: mỗi khi các anh nghe thấy một tiếng bíp thì được chạy về phía cô gái, nhưng chỉ được 1/2 quãng đường thôi.
Sau đó có tiếng bíp phát ra, rồi tiếng nữa, tiếng nữa. Anh kỹ sư chạy dần về phía cô gái, còn anh toán thì vẫn ngồi. Người chủ trò hỏi anh toán: "Tại sao anh không chạy?". "Bởi vì tôi biết trước là chẳng bao giờ đến được đích cả", anh ta trả lời.
Khi được hỏi, anh kỹ sư trả lời: Bởi vì tôi biết rằng, sau một số hữu hạn tiếng bíp, tối sẽ tiến được tới cô gái đó với khoảng cách đủ nhỏ...
6. Khi nhìn thấy một phương trình, nhà Cơ khí sẽ lập tức liên tưởng phương trình với thực tế, nhà Vật lý thì ngược lại, so sánh thực tế với phương trình này. Còn nhà Toán học thì ... ngắm nhìn và nói: "rất đẹp".
7. Một ngày kia, chủ trang trại cho gọi các nhà khoa học: nhà Cơ khí, nhà Vật lý học và nhà Toán học, và hỏi họ về cách rào quanh trang trại: dùng ít nhất số lượng rào chắn để rào xung quanh một khu có diện tích lớn nhất có thể được.
Nhà Cơ khí thực hiện rào xung quanh một vòng tròn và tuyên bố rằng anh ta đã thiết kế được một cách có hiệu quả nhất.
Nhà Vật lý thì thực hiện rào theo một đường dài, thẳng với giả thiết đặt ra: "Giả sử hàng rào của chúng ta là dài vô hạn..." và như thế ta sẽ rào được một nửa Trái đất. Tất nhiên, không còn cách nào lại có hiệu quả hơn thế - nhà Vật lý tuyên bố một cách rất tự tin. Nhà Toán học cười lớn. Anh ta xây dựng một hàng rào nhỏ xung quanh mình và nói: "Tôi đã chỉ ra một cách thực hiện tốt nhất, như thế tất cả phần diện tích trên Trái đất sẽ được rào trừ chỗ tôi đứng" .
Rèn kỹ năng tính tích phân
Có những tích phân mà ta tưởng chừng như phải dùng đến phương pháp tích phân từng phần mới giải được thì lại dễ dàng tính ra với những công thức đơn giản hơn rất nhiều. Bài viết này tôi trích trong quyển sách LTĐH của thầy Sơn.
Để bắt đầu ta xét các tích phân sau:
1) $\mathrm{I}=\displaystyle\int\limits_0^1x^5\mathrm{e}^x\;\mathrm{d}x$
2) $\mathrm{J}=\displaystyle\int\limits_0^\dfrac{\pi}{2}\mathrm{e}^x\sin x\;\mathrm{d}x$
3) $\mathrm{K}=\displaystyle\int\limits_1^\mathrm{e^\pi}\sin \left ( \ln x \right )\;\mathrm{d}x$
Với tích phân I ta thường phải tính tích phân từng phần đến 5 lần để hạ bậc lũy thừa, còn với tích phân J và K ta tính tích phân từng phần hai lần và phối hợp với tích phân ``liên hợp''.
Tuy nhiên với nhận xét đơn giản sau ta có thể tính dễ dàng các tích phân này.
Cho hàm số $u=u(x)$ liên tục trên đoạn $\left [ a;b \right ]$. Ta có $\left (u.\mathrm{e}^x\right)^{'}=\left(u+u^{' }\right).\mathrm{e}^x$. Từ đó ta suy ra công thức nguyên hàm sau $$\displaystyle\int\left ( u.\mathrm{e}^x \right )^{'}\mathrm{d}x=\displaystyle\int\left ( u+u^{'}\right ).\mathrm{e}^x\mathrm{d}x=u.\mathrm{e}^x+\mathrm{C} (\star)$$
Vận dụng công thức $(\star)$ hãy tính các tích phân trên. Chúc bạn thành công.
Vận dụng công thức $(\star)$ hãy tính các tích phân trên. Chúc bạn thành công.
Một bài toán hay về cực trị
Đề bài: Cho hàm số $y=x^4-2mx^2+1$. Xác định $m$ để hàm số có ba điểm cực trị sao cho ba điểm cực trị này nội tiếp trong một đường tròn có bán kính bằng 1.
Lời giải:
- Buộc điều kiện hàm số có 3 cực trị $$m>0$$
- Tọa độ 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số $$A(0,1), B(-\sqrt{m},1-m^2), C(\sqrt{m},1-m^2)$$
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp được cho bởi định lý hàm sin là $$R=\dfrac{BC}{2\sin 2\alpha}=\dfrac{2\sqrt{m}}{4\sin \alpha\cos \alpha}$$ Tính toán trực tiếp ta được $$R=\dfrac{\sqrt{m}\left(m^4+m\right)}{2\sqrt{m}m^2}=\dfrac{m^3+1}{2m}$$
- Theo đề ta có $$R=1 \Longleftrightarrow \dfrac{m^3+1}{2m}=1\Longleftrightarrow m=1, m=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\; (m>0)$$
Một số bài toán khác
Bài 1: Cho hàm số $y=x^4-2m^2x^2+1$. Xác định $m$ để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
Bài 2: Cho hàm số $y=x^4+2mx^2-3$. Xác định $m$ để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đường tròn ngoại tiếp.
Dùng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số
1. Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và điểm $x_0\in (a;b)$.
Giới hạn hữu hạn, nếu có của tỷ số $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ khi $x$ dần đến $x_0$ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm $x_0$, ký hiệu là $f^{'}(x_0)$. Vậy $$f^{'}(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
Ảnh: Math2IT
2. Tính giới hạn bằng đạo hàm
Ví dụ 1: Tính giới hạn $I=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{5-x}-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}$.
Ví dụ 4: Tính giới hạn $L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{\sin x}$.
Hướng dẫn: Biến đổi $L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{\sin x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{x-0}}{\dfrac{\sin x}{x}}=1$.
Lưu ý: Ta cũng có thể biến đổi về dạng $L=\lim\limits_{x\to 0}\Biggl(2\cos x\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-1}{\sin 2x}-\dfrac{\mathrm{e}^{\sin x}-1}{\sin x}\Biggr)$.
Sau đó dùng giới hạn quen thuộc $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1.$
Ví dụ 5: Tính giới hạn $M=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\sqrt[3]{\tan x}-1}{2\sin^2x-1}$.
Đặt $
\begin{cases}
f(x)=\sqrt[3]{\tan x}-1\\
g(x)=2\sin^2x-1
\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases}
f(\frac{\pi}{4})=0,g(\frac{\pi}{4})=0\\
f^{'}(\frac{\pi}{4})=2/3,g^{'}(\frac{\pi}{4})=2
\end{cases}
$
Từ đó $
M=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\dfrac{\sqrt[3]{\tan x}-1}{x-\frac{\pi}{4}}}{\dfrac{2\sin^2x-1}{x-\frac{\pi}{4}}}=\dfrac{f^{'}(\pi/4)}{g^{'}(\pi/4)}=\dfrac{1}{3}
$.
Ví dụ 6: Tính giới hạn $N=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\left ( x^2+2001 \right )\sqrt[9]{1-5x}-2001}{x}$.
Đặt $f(x)=\left ( x^2+2001 \right )\sqrt[9]{1-5x}-2001$. Khi đó $f(0)=0$.
Ta có $f^{'}(x)=2x\sqrt[9]{1-5x}-\dfrac{5\left ( 2001+x^2 \right )}{9\sqrt[9]{\left ( 1-5x \right )^8}}\Rightarrow f^{'}(0)=\dfrac{-5.2001}{9}$.
Biến đổi $N=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{'}(0)=\dfrac{-5(2001)}{9}$.
Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau
a) $I=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{x^2}$
b) $J=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3^{x^2}-\cos x}{x^2}$
Cách 1: Ta biến đổi giới hạn đã cho thành $$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{5-x}-2}{x^2-1}+\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}$$
Sau đó dùng cách nhân với lượng liên hợp để khử dạng vô định $\dfrac{0}{0}$.
Sau đó dùng cách nhân với lượng liên hợp để khử dạng vô định $\dfrac{0}{0}$.
Cách 2: Xét hàm số $f(x)=\sqrt{5-x}-\sqrt[3]{x^2+7}\Longrightarrow f(1)=0.$
Ta có: $f^{'}(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{5-x}} -\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+7)^2}}\Longrightarrow f^{'}(1)=-\dfrac{5}{12}.$
Khi đó ta viết lại $I= \dfrac{\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}}{\lim\limits_{x\to 1}(x+1)}=\dfrac{f^{'}(1)}{2}=-\dfrac{5}{24}$.
Ví dụ 2: Tính giới hạn $J=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{2x+1}-\sqrt[3]{x^2+1}}{\sin x}$.
Cách 1: Viết lại $J=\lim\limits_{x\to 0}\Biggl(\dfrac{\sqrt{2x+1}-1}{x}+\dfrac{1-\sqrt[3]{x^2+1}}{x}\Biggr).\dfrac{x}{\sin x}$.
Sau đó dùng lượng liên hợp và giới hạn quen thuộc $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{ x}{\sin x}=1$.
Sau đó dùng lượng liên hợp và giới hạn quen thuộc $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{ x}{\sin x}=1$.
Cách 2: Xét hàm số $f(x)=\sqrt{2x+1}-\sqrt[3]{x^2+1}\Longrightarrow f(0)=0.$
Ta có: $f^{'}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}} -\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}\Longrightarrow f^{'}(0)=1.$
Khi đó ta viết lại $J= \dfrac{\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}}{\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}}=\dfrac{f^{'}(0)}{1}=1$.
Ví dụ 3: Tính giới hạn $K=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\sqrt{2x+1}+\sin x}{\sqrt{3x+4}-2-x}$.
Xét hai hàm số $$f(x)=1-\sqrt{2x+1}+\sin x, g(x)=\sqrt{3x+4}-2-x$$
Ta viết lại $K=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}}{\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}}=\dfrac{f^{'}(0)}{g^{'}(0)}=0$.
Ví dụ 4: Tính giới hạn $L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{\sin x}$.
Hướng dẫn: Biến đổi $L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{\sin x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-\mathrm{e}^{\sin x}}{x-0}}{\dfrac{\sin x}{x}}=1$.
Lưu ý: Ta cũng có thể biến đổi về dạng $L=\lim\limits_{x\to 0}\Biggl(2\cos x\dfrac{\mathrm{e}^{\sin 2x}-1}{\sin 2x}-\dfrac{\mathrm{e}^{\sin x}-1}{\sin x}\Biggr)$.
Sau đó dùng giới hạn quen thuộc $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1.$
Ví dụ 5: Tính giới hạn $M=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\sqrt[3]{\tan x}-1}{2\sin^2x-1}$.
Đặt $
\begin{cases}
f(x)=\sqrt[3]{\tan x}-1\\
g(x)=2\sin^2x-1
\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases}
f(\frac{\pi}{4})=0,g(\frac{\pi}{4})=0\\
f^{'}(\frac{\pi}{4})=2/3,g^{'}(\frac{\pi}{4})=2
\end{cases}
$
Từ đó $
M=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\dfrac{\sqrt[3]{\tan x}-1}{x-\frac{\pi}{4}}}{\dfrac{2\sin^2x-1}{x-\frac{\pi}{4}}}=\dfrac{f^{'}(\pi/4)}{g^{'}(\pi/4)}=\dfrac{1}{3}
$.
Ví dụ 6: Tính giới hạn $N=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\left ( x^2+2001 \right )\sqrt[9]{1-5x}-2001}{x}$.
Đặt $f(x)=\left ( x^2+2001 \right )\sqrt[9]{1-5x}-2001$. Khi đó $f(0)=0$.
Ta có $f^{'}(x)=2x\sqrt[9]{1-5x}-\dfrac{5\left ( 2001+x^2 \right )}{9\sqrt[9]{\left ( 1-5x \right )^8}}\Rightarrow f^{'}(0)=\dfrac{-5.2001}{9}$.
Biến đổi $N=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{'}(0)=\dfrac{-5(2001)}{9}$.
Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau
a) $I=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{x^2}$
b) $J=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3^{x^2}-\cos x}{x^2}$
Theo Toán học và Tuổi trẻ